Question

求过直线2x+y+4=0和圆（x+1）²+（y-2）²=4的交点，并且面积最小的圆的方程．（圆系法）

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：设所求的圆的方程为（x+1）²+（y-2）² -4+λ（2x+y+4）=0，求出半径的平方最小时λ的值，可得所求的圆的方程．

解答： 解：设所求的圆的方程为（x+1）²+（y-2）² -4+λ（2x+y+4）=0，即 x²+y²+（2λ+2）x+（λ-4）y+4λ=0，
该圆的半径的平方为

1

4

[（2λ+2）²+（λ-4）²-16λ]=

1

4

（5λ²-16λ+20），
故当λ=

8

5

时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小，
此时，圆的方程为 x²+y²+

26

5

x-

12

5

y+

32

5

=0．

点评：本题主要考查圆系方程的应用，圆的一般式方程，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．