Question

如图所示，三棱柱中，四边形为菱形，∠BCC′=60°，△ABC为等边三角形，
面ABC⊥面BCC′B′，E、F分别为棱AB、CC′的中点；

（Ⅰ）求证：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求二面角C-AA′-B的大小。

Answer 1

（Ⅰ）证明：（方法一）取A′B中点D，连接ED，DC， 因为E，D分别为AB，A′B中点， 所以ED=AA′，ED∥AA′， 所以ED=CF，ED∥CF，所以四边形EFCD为平行四边形， 所以EF∥CD， 又因为EF平面A′BC，CD平面A′BC′， 所以EF∥平面A′BC′。
证明：（方法二）取BC中点O，连接AO，OC′， 由题可得AO⊥BC， 又因为面ABC⊥面， 所以AO⊥面，  ， ，所以， 可以建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设BC=2，可得，，， ，，， 所以， 所以 ， 则， 不妨取，则， 所以，
（Ⅱ）（方法一）解：过F点作AA′的垂线FM交AA′于M， 连接BM，BF， 因为BF⊥CC′，CC′∥AA′， 所以BF⊥AA′，所以AA′⊥面MBF， 因为面ABC⊥面BCC′B′，所以A点在面BCC′B′上的射影落在BC上， 所以， 所以， 不妨设BC=2，则， 同理可得， 所以，
（方法二）由（Ⅰ）方法二可得 ， 设面的一个法向量为， 则， 不妨取， 则； 又， 则， 不妨取， 则， 所以， 。