题目内容
如图所示，三棱柱
中，四边形
为菱形，
，
为等边三角形，面
面，
分别为棱
的中点；
（Ⅰ）求证：
面
＇；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
【答案】
（Ⅰ）证明（方法一）取
中点
，连接
，因为
分别为
中点，所以
，┅┅┅┅┅┅┅３分
所以
，所以四边形
为平行四边形，所以
，又因为
＇，所以
面
＇；┅┅┅┅┅┅…………………………………┅６分
（方法二）取
中点
，连接
，
由题可得
，又因为面
面
，
所以
面，又因为菱形中
，所以
.
可以建立如图所示的空间直角坐标系┅┅┅┅2分
不妨设
，可得
，
，
，
所以
所以
，┅┅┅┅┅┅┅4分
设面的一个法向量为
，则
，不妨取
，则
，所以
，又因为
面＇，所以面＇.
┅┅┅┅┅┅┅7分
(Ⅱ）（方法一）
过
点作
的垂线
交于
，连接
.因为
，
所以
，所以
面
，
所以
为二面角
的平面角.------------------------------８分
因为面面，所以
点在面上的射影落在上，所以
，所以
，不妨设，所以
，同理可得
.┅┅┅┅┅┅┅10分
所以
，所以二面角的大小为
┅12分
（方法二）由（Ⅰ）方法二可得
，设面
的一个法向量为
，则
，不妨取
，则
.┅┅┅┅┅┅┅８分
又
，设面
的一个法向量为
，则
，不妨取
，则
.┅┅┅┅┅┅┅１０分
所以
，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅１2分
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