Question

【题目】定义在的函数的导函数为.

证明：（1）在区间存在唯一极小值点；

（2）有且仅有2个零点.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

(1)由题,再求导利用零点存在定理证明即可.

(2)由(1)可得在区间存在唯一极小值点,再根据零点存在定理证明即可.

解：（1）,则,

因为与在均为增函数,故在为增函数,

又,,结合零点存在性定理知：存在唯一使得,

若,；若,；故在区间存在唯一极小值点.

（2）由（1）可知在区间存在唯一极小值点,所以,

又,,结合零点存在性定理知：存在唯一使得,

存在唯一使得,故当时,,当时,,

故在和为增函数,在为减函数,则

且,由零点存在性定理：存在唯一使得,

故函数在有且仅有与两个零点；

当时,,则,故函数在没有零点；

综上所述,有且仅有2个零点.