题目内容
【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.
方案②：按
个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组个人的血总共需要化验
次.
假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为
，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为
，求的分布列；
（2）设
.试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.
【答案】（1）见解析（2）390次
【解析】
（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为
,则每个人的血呈阴性反应的概率为
.由独立性事件概率性质可得
个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为
得其分布列.
（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数
.当
时,
.将分别取2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根据结果,即可求得相比方案①,化验次数最多平均减少的次数.
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为
,则.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为
,呈阳性反应的概率为
.
依题意可知
,所以的分布列为：
|
|
|
P |
|
|
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：
,
所以当
时,
,此时960人需要化验的总次数为662次,
时,
,此时960人需要化验的总次数为580次,
时,
,此时960人需要化验的次数总为570次,
即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少
而采用方案①则需化验960次,
故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少
次.
【题目】哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组
，
，…，
，其部分频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求成绩在
的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；
（Ⅱ）从成绩在和的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；
（Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男 | 4 | 30 | |
女 | 30 | ||
合计 | 60 |
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
