Question

20．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中|φ|＜π，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{π}{3}$），则f（x）的递增区间是（　　）

• A． [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
• B． [kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）
• C． [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• D． [kπ-$\frac{π}{2}$，kπ]（k∈Z）

Answer 1

分析 通过函数的最值，以及不等式求出φ的值，推出函数的解析式，然后求出单调增区间即可．

解答 解：由f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|⇒f（$\frac{π}{6}$）=±1⇒sin（φ+$\frac{π}{3}$）=±1，（1）
又由f（$\frac{π}{2}$）＜f（$\frac{π}{3}$），⇒sin（π+φ）＜sin （$\frac{2}{3}$π+φ）⇒sin（ φ+$\frac{π}{3}$）＞0，（2）
∵|φ|＜π，由（1）（2）可得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：
f（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
于是可求得增区间为A．
故选：A．

点评 本题考查函数的解析式的求法，三角函数的单调性的判断，考查计算能力．