Question

13．已知动点M（x，y）到点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2．
（1）求动点M的轨迹方程C．
（2）已知斜率为2的直线经过点F，且与轨迹C相交于A、B两点．求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）把y轴向左平移2个单位变为x=-2，此时点M到直线x=-2的距离等于它到点（2，0）的距离，即可得到点M的轨迹方程．
（2）设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°-α，cotθ=tanα=2，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，然后求出|AB|．

解答 解：（1）因为动点M（x，y）到点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2，
所以点M到直线x=-2的距离等于它到点（2，0）的距离，
因此点M的轨迹为抛物线，方程为y²=8x．
（2）设直线l的倾斜角为α，则l与y轴的夹角θ=90°-α，
由题意，cotθ=tanα=2，
∴sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴|AB|=$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$=40．

点评 本题考查点M的轨迹方程，考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦的求法，正确运用抛物线的定义是关键．