Question

18．设数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=2，且点A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲线x²-y²=2n上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}的前n项和为T_n，是否存在正整数n，使得T_n=3？若存在，求出n的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲线x²-y²=2n上．可得S_n-S_n-1=2n，即可得出．
（2）由（1）得$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由点A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲线x²-y²=2n上．
∴S_n-S_n-1=2n，
（n≥2），即a_n=2n．
又aa₁=2也适合上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（n∈N^*）．
（2）由（1）得$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减，得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$＜3．
即不存在正整数n，使得T_n=3．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．