Question

2．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”；已知f（x）=-$\frac{1}{12}$x${\;}^{4}+\frac{m}{6}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [$\frac{31}{9}$，5]
• C． （2，+∞）
• D． （$\frac{31}{9}$，+∞）

Answer 1

分析 利用导数的运算法则可得f′（x），f″（x）．由于函数f（x）在区间（1，3）上为“凹函数”，可得：在区间（1，3）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{12}$x${\;}^{4}+\frac{m}{6}{x}^{3}+\frac{3}{2}{x}^{2}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{m}{2}$x²+3x，
∴f″（x）=-x²+mx+3，
由题意得：-x²+mx+3＞0在（1，3）恒成立，
即m＞x-$\frac{3}{x}$在（1，3）恒成立，
令g（x）=x-$\frac{3}{x}$，g′（x）=1+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，3）递增，g（x）_max＜g（3）=2，
故m≥2，
故选：A．

点评 本题考查了“凹函数”的定义及其性质、导数的运算法则、恒成立问题的等价转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．