Question

(本小题满分14分)

如图5，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，。

（1）证明：；

（2已知点为线段上的点，

，，求平面与平面所成二面角的正弦值。

Answer 1

（1）证明： 连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。

在中，。

在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。

在中，，所以为，且

。

因为，，且，所以平面，

而平面，。

因为，，且，所以平面，

而平面，。

（2）设平面与平面RQD的交线为.

由，，知.

而平面，∴平面，

而平面平面= ，

∴.

由（1）知，平面，∴平面，

而平面，∴，，

∴是平面与平面所成二面角的平面角．

在中，，

，．

在中，由知，，

由余弦定理得，

由正弦定理得，，即，

。

故平面与平面所成二面角的正弦值为。