Question

6．在四棱柱ABCD一A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且AB=AA₁=$\sqrt{5}$，BD=4，A₁在底面 ABCD的射影是AC与BD的交点O．
（1）证明：在侧棱AA₁上存在-点E，使得0E⊥平面BB₁D₁D，并求出AE的长；
（2）求二面角A₁一B₁D-D₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据条件，便可说明OB，OC，OA₁三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出空间一些点的坐标．可设在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁D₁D，并且可以设E（0，$\frac{b}{2}-1$，b），并可以设平面BB₁D₁D的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，从而可根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$求出法向量$\overrightarrow{m}$，从而有$\overrightarrow{OE}$∥$\overrightarrow{m}$，根据共线向量基本定理即可求出b的值，并且可以求出AE的长，这样便得出要证的结论正确；
（2）求二面角A₁-B₁D-D₁的余弦值，可分别求出平面A₁B₁D和平面D₁B₁D的法向量，求法同上面求法向量的过程，然后求这两法向量夹角的余弦值即可得出二面角A₁-B₁D-D₁的余弦值．

解答 解：（1）证明：根据条件，A₁O⊥底面ABCD，AC⊥BD；
∴OB，OC，OA₁三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
O（0，0，0），A（0，-1，0），B（2，0，0），C（0，1，0），D（-2，0，0），A₁（0，0，2），B₁（2，1，2），D₁（-2，1，2）；
∴$\overrightarrow{BD}=（-4，0，0），\overrightarrow{B{B}_{1}}=（0，1，2）$，设在侧棱AA₁上存在点E，使OE⊥平面BB₁D₁D；
∵A₁O⊥平面ABCD，A₁O?平面A₁AO；
∴平面A₁AO⊥平面ABCD，过E作EF⊥AO，垂足为F，则EF⊥平面ABCD，且$\frac{EF}{AF}=\frac{{A}_{1}O}{AO}=\frac{2}{1}$；
∴设E（0，$\frac{b}{2}-1$，b），-1≤a≤0，0≤b≤2，$\overrightarrow{OE}=（0，\frac{b}{2}-1，b）$；
设平面BB₁D₁D的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-4x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=y+2z=0}\end{array}\right.$；
取z=1，则$\overrightarrow{m}=（0，-2，1）$，则$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{OE}$；
存在k使，$\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{m}$；
∴（0，$\frac{b}{2}$-1，b）=（0，-2k，k）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}-1=-2k}\\{b=k}\end{array}\right.$；
∴b=$\frac{2}{5}$；
∴$EF=\frac{2}{5}，AF=\frac{1}{5}$，EF⊥AF；
∴$AE=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即在侧棱上存在一点E，使OE⊥平面BB₁D₁D，且AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）设平面A₁B₁D的法向量为$\overrightarrow{p}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=（2，1，0），\overrightarrow{{A}_{1}D}=（-2，0，-2）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-2{x}_{1}-2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取x₁=1，则$\overrightarrow{p}=（1，-2，-1）$；
同理设平面D₁B₁D的法向量为$\overrightarrow{q}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{{B}_{1}D}=0}\end{array}\right.$可求出$\overrightarrow{q}=（0，-2，1）$；
∴设二面角A₁-B₁D-D₁的大小为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}=\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$；
∴二面角A₁-B₁D-D₁的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 考查面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理，以及菱形的对角线互相垂直，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面垂直以及二面角等问题的方法，平面法向量的概念及其求法，共线向量基本定理，要清楚两平面法向量的夹角和两平面形成二面角的大小的关系．