Question

11．如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面ABEF，AB∥EF，且AD=1，AB=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，AF=BE=2，点P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点．
（1）求证：PQ∥平面BCE；
（2）求证：AM⊥平面ADF．

Answer 1

分析 （1）连结AC，由三角形中位线定理得PQ∥EC，由此能证明PQ∥平面BCE．
（2）由已知得四边形ABEM为平行四边形，从而AM∥BE，且AM=BE=2．再由勾股定理得AM⊥AF．由此能证明AM⊥平面ADF．

解答 证明：（1）连结AC，如图所示：
因为四边形ABCD是矩形，且Q为BD的中点，
所以Q为AC的中点．
又因为P为AE的中点，所以PQ∥EC，
又因为PQ?平面BCE，EC?平面BCE，所以PQ∥平面BCE．（7分）
（2）因为AB∥EM，且AB=EM=2$\sqrt{2}$，
所以四边形ABEM为平行四边形，
所以AM∥BE，且AM=BE=2．
在△AMF中，由AM=AF=2，MF=2$\sqrt{2}$，得AM²+AF²=MF²，故AM⊥AF．
由AD⊥平面ABEF，得AD⊥AM，
因为AD∩AF=A，所以AM⊥平面ADF．（14分）

点评 本题考查线面平行和线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．