题目内容

对θ∈R,不等式cos2θ-3＞2mcosθ-4m恒成立,求实数m的取值范围.

解析:原不等式可化为cos2θ-2＞m(cosθ-2)?m(2-cosθ)＞2-cos2θ,

m＞=2+cosθ-

=4-［(2-cosθ)+］,

于是只需m大于g(θ)=4-［(2-cosθ)+］的最大值即可.

∵2-cosθ+≥,

∴［g(θ)］max=4-.

故为保证原不等式恒成立,m的取值范围是m＞4-.

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对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1+BB1+CC1≥
9R
2
”．
证明如下：
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OAC
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=1，
即：
AA1-R
AA1
+
BB1-R
BB1
+
CC1-R
CC1
=1，即
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
=
2
R
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
9R
2
．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
”．

对于平面内的命题：“△ABC内接于圆⊙O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连结AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1＋BB1＋CC1≥”

证明如下：

即：，即

由柯西不等式，得

∴AA1＋BB1＋CC1≥

将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连结AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则________”

对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则数学公式”．
证明如下：数学公式，
即：数学公式，即数学公式，
由柯西不等式，得数学公式．∴数学公式．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则________”．
对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则”．
证明如下：，
即：，即，
由柯西不等式，得．∴．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则    ”．

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