题目内容
对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1+BB1+CC1≥
”．
证明如下：
+
+
=
+
+
=1，
即：
+
+
=1，即
+
+
=
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
+
+
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则
| 9R |
| 2 |
证明如下：
| OA1 |
| AA1 |
| OB1 |
| BB1 |
| OC1 |
| CC1 |
| S△OBC |
| S△ABC |
| S△OAC |
| S△ABC |
| S△OAB |
| S△ABC |
即：
| AA1-R |
| AA1 |
| BB1-R |
| BB1 |
| CC1-R |
| CC1 |
| 1 |
| AA1 |
| 1 |
| BB1 |
| 1 |
| CC1 |
| 2 |
| R |
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
| 1 |
| AA1 |
| 1 |
| BB1 |
| 1 |
| CC1 |
| 9R |
| 2 |
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则
AA1+BB1+CC1+DD1≥
| 16R |
| 3 |
AA1+BB1+CC1+DD1≥
”．| 16R |
| 3 |
分析：由三角形类比四面体，由面积类比体积，结合柯西不等式，即可得到结论．
解答：解：类比证明方法可得：
+
+
+
=
+
+
+
=1
∴
+
+
+
=1
∴
+
+
+
=
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1+DD1)(
+
+
+
)≥16
∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
故答案为：AA1+BB1+CC1+DD1≥
．
| OA1 |
| AA1 |
| OB1 |
| BB1 |
| OC1 |
| CC1 |
| OD1 |
| DD1 |
| VO-DBC |
| VA-BCD |
| VO-ACD |
| VA-BCD |
| VO-ABD |
| VA-BCD |
| VO-ABC |
| VA-BCD |
∴
| AA1-R |
| AA1 |
| BB1-R |
| BB1 |
| CC1-R |
| CC1 |
| DD1-R |
| DD1 |
∴
| 1 |
| AA1 |
| 1 |
| BB1 |
| 1 |
| CC1 |
| 1 |
| DD1 |
| 3 |
| R |
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1+DD1)(
| 1 |
| AA1 |
| 1 |
| BB1 |
| 1 |
| CC1 |
| 1 |
| DD1 |
∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
| 16R |
| 3 |
故答案为：AA1+BB1+CC1+DD1≥
| 16R |
| 3 |
点评：本题考查两边推理，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
”
，即
”．
，
，即
，
．∴
”．
，
，即
，
．∴
．