题目内容

对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则数学公式”．
证明如下：数学公式，
即：数学公式，即数学公式，
由柯西不等式，得数学公式．∴数学公式．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则________”．

AA1+BB1+CC1+DD1≥
分析：由三角形类比四面体，由面积类比体积，结合柯西不等式，即可得到结论．
解答：类比证明方法可得：
∴
∴
由柯西不等式，得
∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
故答案为：AA1+BB1+CC1+DD1≥．
点评：本题考查两边推理，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出下列五个命题：
①长度相等，方向不同的向量叫做相反向量；
②设
b
，
c
是同一平面内的两个不共线向量，则对于平面内的任意一个向量
a
，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a
=λ1
b
+λ2
c
；
③
a
∥
b
的充要条件是存在唯一的实数λ使
b
=λ
a
；
④（
a
•
b
）
c
=
a
（
b
•
c
）；
⑤λ（
a
+
b
）•
c
=λ
a
•
c
+λ
b
•
c
．
其中正确命题的个数是                                （　　）
对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1+BB1+CC1≥
9R
2
”．
证明如下：
OA1
AA1
+
OB1
BB1
+
OC1
CC1
=
S△OBC
S△ABC
+
S△OAC
S△ABC
+
S△OAB
S△ABC
=1，
即：
AA1-R
AA1
+
BB1-R
BB1
+
CC1-R
CC1
=1，即
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
=
2
R
，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
1
AA1
+
1
BB1
+
1
CC1
)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥
9R
2
．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
AA1+BB1+CC1+DD1≥
16R
3
”．

对于平面内的命题：“△ABC内接于圆⊙O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连结AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1＋BB1＋CC1≥”

证明如下：

即：，即

由柯西不等式，得

∴AA1＋BB1＋CC1≥

将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连结AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则________”
对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则”．
证明如下：，
即：，即，
由柯西不等式，得．∴．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则    ”．

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