Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1，则椭圆内接矩形面积的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：设椭圆内接矩形为ABCD，如图所示．设A（m，n），则矩形ABCD的面积S=4mn，利用基本不等式可得1=

m2

2

+n²≥

2

mn，由此即可算出当m=1且n=

2

2

时，矩形ABCD的面积的最大值为2

2

．

解答：解：设内接矩形为ABCD，A为椭圆第一象限部分的一点，如图所示．
设A（m，n），可得矩形ABCD的面积为S=4mn，
∵

m2

2

+n2=1≥2

m2 2 •n2

=

2

mn，
当且仅当m=1、n=

2

2

时，等号成立
∴

2

mn有最大值为1，相应地mn有最大值为

2

2

．
因此当m=1、n=

2

2

时，矩形ABCD的面积为S=4mn的最大值为2

2

．
故答案为：2

2

点评：本题给出椭圆的内接矩形，求其面积的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、用基本不等式求最值等知识，属于中档题．