题目内容

（2012•钟祥市模拟）如图，已知椭圆
x2
2
+y2=1内有一点M，过M作两条动直线AC、BD分别交椭圆于A、C和B、D两点，若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）若M点恰好为椭圆中心O
（i）四边形ABCD是否存在内切圆？若存在，求其内切圆方程；若不存在，请说明理由．
（ii）求弦AB长的最小值．
分析：（1）设出点的坐标，利用|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2，即可证得
AC
•
BD
=0，从而AC⊥BD；
（2）（i）根据AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，设直线AB方程为：y=kx+m，利用圆心到直线的距离，可得r2=
m2
k2+1
；联立　
y=kx+m
x2
2
+y2=1
，利用OA⊥OB，可得m2=
2
3
(1+k2)，从而可求内切圆的方程；
（ii）求出弦AB的长|AB|=
3
2
m2
•
16(
3
2
m2-1)m2
[1+2(
3
2
m2-1)]2
-8
(m2-1)
1+2(
3
2
m2-1)
=
12m2(2m2-1)
(3m2-1)2
，令3m2-1=t，则m2=
t+1
3
，所以|AB|=
12•
t+1
3
(2
t+1
3
-1)
t2
=
4
3
(-
1
t2
+
1
t
+2)
=
4
3
[-(
1
t2
-
1
2
)]2+
9
4
根据m2≥
2
3
，即可求得弦AB长的最小值．
解答：（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
由|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2知(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x3-x4)2+(y3-y4)2=(x2-x3)2+(y2-y3)2+(x1-x4)2+(y1-y4)2
展开整理得：x1x2+y1y2+x3x4+y3y4=x2x3+y2y3+x1x4+y1y4
即x1（x2-x4）+x3（x4-x2）+y1（y2-y4）+y3（y4-y2）=0
∴（x1-x3）（x2-x4）+（y1-y3）（y2-y4）=0
即
AC
•
BD
=0，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m
则r=
|m|
k2+1
，即r2=
m2
k2+1
①
联立　
y=kx+m
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0
∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)＞0，x1+x2=
-4mk
1+2k2
，x1•x2=
2m2-2
1+2k2

由（1）知OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0
∴x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
∴
2m2-2
1+2k2
+k2•
2m2-2
1+2k2
+km
-4km
1+2k2
+m2=0
∴2m2-2+2m2k2-2k2-4k2m2+m2+2m2k2=0
∴m2=
2
3
(1+k2)②
②代入①有：r2=
2
3

∴存在内切圆，其方程为：x2+y2=
2
3
…．（9分）
容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立．
（ii）|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
1+k2
•
16k2m2
(1+2k2)2
-4
2m2-2
1+2k2

∵m2=
2
3
(1+k2)k2=
3
2
m2-1≥0，m2≥
2
3

∴|AB|=
3
2
m2
•
16(
3
2
m2-1)m2
[1+2(
3
2
m2-1)]2
-8
(m2-1)
1+2(
3
2
m2-1)
=
12m2(2m2-1)
(3m2-1)2

令3m2-1=t，则m2=
t+1
3

∴|AB|=
12•
t+1
3
(2
t+1
3
-1)
t2
=
4
3
(-
1
t2
+
1
t
+2)
=
4
3
[-(
1
t2
-
1
2
)]2+
9
4

∵m2≥
2
3
，∴
t+1
3
≥
2
3
，故t≥1，∴0＜
1
t
≤1
当
1
t
=1时，|AB|min=
4
3
+2
=
2
6
3
，此时m2=
2
3
，k2=0
容易验证，当k不存在时，|AB|=
2
6
3
…．（13分）
点评：本题以椭圆方程为载体，考查向量知识的运用，考查椭圆与圆的综合，考查圆中的弦长的求解，挖掘隐含，熟练计算是关键．
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-
1
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．
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2
5
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2
．
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x2
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- 
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（3，+∞）
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．

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