Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（I）由题意可知圆过点O（0，0）、F（-1，0），圆心M在直线x=-

1

2

上．由此可求出圆的方程．
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．然后利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：（I）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2．
∵圆过点O、F，
∴圆心M在直线x=-

1

2

上．
设M(-

1

2

，t)，则圆半径r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

.
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解得t=±

2

.
∴所求圆的方程为(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

.
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，
∴方程有两个不等实根，
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∵线段AB的中点N在直线x+y=0上，
∴x0+y0=-

2k2

2k2+1

+

k

2k2+1

=0，
∴k=0，或k=

1

2

.
当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x+y=0上．
∴直线AB的方程是y=0，或x-2y+1=0．

点评：本题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意公式的灵活运用．