Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1的左、右焦点为F₁、F₂，上顶点为A，直线AF1交椭圆于B．如图所示沿x轴折起，使得平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂．点O为坐标原点．
（ I ） 求三棱锥A-F₁F₂B的体积；
（Ⅱ）图2中线段BF₂上是否存在点M，使得AM⊥OB，若存在，请在图1中指出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程及其性质、面面垂直的性质及三棱锥的体积计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用线线垂直的斜率之间的关系、线面垂直的判定和性质定理即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由

x2

2

+y2=1得a²=2，b²=1，∴b=1，c=

2-1

=1．
∴上顶点A（0，1），左焦点F₁（-1，0），右焦点F₂（1，0）．
直线AF₁：y=x+1，联立

y=x+1 x2+2y2=2

消去y点得到3x²+4x=0，
解得x=0或-

4

3

，
∴B(-

4

3

，-

1

3

)．
∴S△BF1F2=

1

2

|F1F2| |yB|=

1

2

×2×

1

3

=

1

3

．
∵平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂，平面AF₁F₂∩平面BF₁F₂=F₁F₂，AO⊥F₁F₂，
∴AO⊥平面BF₁F₂．
∴VA-BF1F2=

1

3

S△BF1F2×|AO|=

1

3

×

1

3

×1=

1

9

．
（Ⅱ）假设存在点M，使得AM⊥OB，由（Ⅰ）可知AO⊥平面BF₁F₂，∴AO⊥BO．
过点O作OM⊥OB交BF₂于点M，连接AM．
∵k_OB=

- 1 3

- 4 3

=

1

4

，∴k_OM=-4，∴直线OM的方程为y=-4x．
直线BF₂的方程为y=

0+ 1 3

1+ 4 3

(x-1)，化为y=

1

7

(x-1)．
联立

y=-4x y= 1 7 (x-1)

，解得

x= 1 29 y=- 4 29

，
∴M(

1

29

，-

4

29

)，可知点M在线段BF₂上，
由以上作法可知：BO⊥平面AOM，∴BO⊥AM，满足条件．
因此图2中线段BF₂上存在点M，使得AM⊥OB，图1中点M的坐标为M(

1

29

，-

4

29

)．

点评：是掌握椭圆的标准方程及其性质、线面与面面垂直的判定和性质定理及三棱锥的体积计算公式、线线垂直的斜率之间的关系是解题的关键．