Question

已知， ，，其中是无理数且，.

（1）若，求的单调区间与极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）当a=1时，，，         

令，得x=1.

当时，，此时单调递减；                  

当时，，此时单调递增.                    

所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为.                            （4分）

令，，所以.        

当时，，在上单调递增，              

所以.

故在（1）的条件下，.                          

（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1.

因为，                                   

①当时，，在上单调递增，此时无最小值；

②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增；                     

所以，得，满足条件；       

③当时，因为，所以，故在上单调递减.

，得（舍去）；           

综上，存在实数，使得在上的最小值为-1.