Question

10．设S_n为各项不相等的等差数列{a_n}的前n项和，已知a₃a₅=3a₇，S₃=9．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设T_n为数列{${\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过设{a_n}的公差为d，利用a₃a₅=3a₇与S₃=9联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论；
（2）通过（1）裂项、并项相加可知．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则由题意知$\left\{\begin{array}{l}（{a_1}+2d）（{a_1}+4d）=3（{a_1}+6d）\\ 3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=0\\{a_1}=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}d=1\\{a_1}=2\end{array}\right.$，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）++（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．
即T_n=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，涉及基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．