Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n=（-1）^n-1•n，若对任意的正整数n，有（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（-3，1）．

Answer 1

分析 S_n=（-1）^n-1•n，可得：a₁=S₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=（-1）^n-1（2n-1），对n分类讨论，利用（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，即可解出．

解答 解：∵S_n=（-1）^n-1•n，
∴a₁=S₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）^n-1•n-（-1）^n-2（n-1）=（-1）^n-1（2n-1），当n=1时也成立，
∴a_n=（-1）^n-1（2n-1），
当n为偶数时，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0化为：[（2n+1）-p][-（2n-1）-p]＜0，-（2n-1）＜p＜2n+1，可得-3＜p＜5．
当n为奇数时，（a_n+1-p）（a_n-p）＜0化为：[-（2n+1）-p][（2n-1）-p]＜0，-（2n+1）＜p＜2n-1，可得-3＜p＜1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3＜p＜5}\\{-3＜p＜1}\end{array}\right.$，
解得-3＜p＜1．
故答案为：（-3，1）．

点评 本题考查了递推公式、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．