Question

1．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱BB₁、CC₁的中点，AC与BD交于点O．
（1）求证：OE⊥平面ACD₁．
（2）求异面直线OE与BF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明OE⊥平面ACD₁．
（2）求出$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{OE}$，利用向量法能求出异面直线OE与BF所成角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）依题意，以D为原点，分别以DA、DC、DD₁所
在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则A（2，0，0），D₁（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）E（2，2，1），F（0，2，1），B（2，2，0），（2分）
∴$\overrightarrow{OE}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），（4分）
∵$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{AC}$=-2+2+0=0，$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{A{D}_{1}}$=-2+0+2=0，∴OE⊥AC，OE⊥AD₁，（6分）
∵AC∩AD₁=A，∴OE⊥平面ACD₁．（8分）
解：（2）∵$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{OE}=（1，1，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{OE}，\overrightarrow{BF}$＞=$\frac{\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{OE}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{-2+1}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，（11分）
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．（12分）

点评 本题考查向面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．