Question

【题目】函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 或

【解析】

（1）先求得函数的导函数和定义域，对分成等种情况，分类讨论函数的单调性.（2）将分离常数化为，构造函数，利用导数求得的单调性和最值，由此求得的取值范围.

（1），

（i）当时，，令,得，令,得，

函数在上单调递增，上单调递减；

（ii）当时，令，得,

令,得，令,得，

函数在和上单调递增，上单调递减；

（iii）当时，，函数f(x)在上单调递增；

（iv）当时，

令,得，令,得

函数在和上单调递增，上单调递减；

综上所述：当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为

（2）当时，，由，得，

又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，

只需有唯一实数解，

令，∴，

由得；得，

∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.

，，，故或