Question

【题目】设椭圆的一个焦点为，且椭圆过点，为坐标原点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求的最大值，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据，且，解得答案.

（2）设切线方程为，根据垂直得到，故，得到，，考虑和和斜率不存在三种情况，分别计算得到答案.

（1）根据题意：，且，解得，故标准方程为：.

（2）假设存在圆满足，当斜率存在时，设切线方程为.

，故.

，即.

，

.

，即，故，即.

，故，故.

当直线斜率不存在时，根据对称性不妨取，，

满足.

综上所述：存在使题目条件成立.

.

当时，；

当时，，当，即时等号成立；

当斜率不存在时，易知；

综上所述：的最大值为.