Question

设函数f（x）=|x+1|+|ax+1|，已知f（-1）=f（1），且（a∈R，且a≠0），函数g（x）=ax³+bx²+cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上．
（1）试求a、b的值；
（2）若x≥0时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，求正整数c的值．

Answer 1

解：（1）∵f（-1）=f（1），∴|1-a|=2+|a+1|①
又，
∴，即|1-a|=2|a|+|a+1|②
由①②得|a|=1，
∴a=±1．
又∵a=1时，①、②不成立，
故∴a=-1．
∴g（x）=-x³+bx²+cx，
设x₁、x₂是函数g（x）的两个极值点，则x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的两个根，△=4b²+12c＞0（c为正整数），
∴x₁+x₂=，
又∵A、O、B三点共线，
∴=，
∴（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，
又∵x₁≠x₂，
∴b=x₁+x₂=，
∴b=0．
（2）∵x≥0时，f（x）_min=2，
由g′（x）=-3x²+c=0得，可知g（x）在上单调递增，在
上单调递减，．
①由得c＜3，∴c的值为1或2．（∵c为正整数）
②时，记g（x）在上切线斜率为2的切点的横坐标为x₀，
则由g′（x）=-3x²+c=2得，依题意得g（x₀）＜f（x₀），∴，得c＜2，与c＞3矛盾．
（或构造函数h（x）=2x-g（x）在x≥1上恒正）
综上，所求c的值为1或2．
分析：（1）根据f（-1）=f（1），且（a∈R，且a≠0），求出a的值，再对函数g（x）求导，根据函数g（x）=ax³+bx²+cx有两个不同的极值点，可以得到△＞0，根据极值点共线A、B与坐标原点O可解出b的值．
（2）因为x≥0时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，值当x≥0，g（x）恒小于f（x），所以g（x）的最大值恒小于f（x）的最小值，利用导数求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，比较大小即可．
点评：本题考查了利用导数判断极值点的个数，以及比较函数大小问题．