Question

已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当 时，求实数取值范围．

Answer 1

(1) ；(2).

解析试题分析：(1)先根据圆心到直线的距离等于半径，求出圆的半径即椭圆短半轴的长，然后由离心率求出和的关系，进而得到的值，写出椭圆方程即可；(2)先设出直线方程，再由直线方程与椭圆方程联立方程组，求得，两点的横坐标满足的方程，它的判别式大于零得到，然后由已知条件，结合两点间的距离公式以及根与系数的关系求得，，从而解得，根据已知有以及点在椭圆上，先求出点的坐标，然后代入椭圆方程可知，结合求解的，即可得到的解集.
试题解析：(1)由题意知，短半轴长为：，
∵，∴，
即，∴，
故椭圆的方程为：.                         2分
(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线：，
设，，，
由得，.
，解得.                  4分
.
∵，∴，
解得，.
∵点在椭圆上，∴，
∴.                ..7分
∵，∴，
∴，
∴，
∴，∴                            10分
∴，
∵，∴，
∴或，
∴实数取值范围为.                         12分
考点：1.椭圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.方程的根与系数的关系；4.解不等式；5.平面向量的坐标运算