Question

（本小题共14分）

如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）若，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取，连结和,

∴，∥，，∥，

∴，∥．∴四边形为平行四边形，

∴∥，　 在矩形中，，　 ∴四边形为平行四边形．

　 ∴∥，∥．　 ∵平面，平面，

∴∥平面．　　　 ————————4分

（Ⅱ）连结，在正四棱柱中，

　 平面，　 ∴，，

　 ∴平面，　 ∴．　 由已知，得平面．

　 ∴，，

　 在△与△中， ，，

　 ∴△∽△

∴，．—————————9分

（Ⅲ）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．

　　 ．

　　 ，

　　 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，

　　 设为平面的一个法向量，

　　 则 ，即 ，

令，所以 ．

　　 ∴，

　　 ∵二面角的平面角为锐角，

　　 ∴二面角的余弦值为． —————————13分