Question

【题目】对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.

（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；

（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；

（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）当是数列时，与满足的条件为或，证明见解析.

【解析】

(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可；

(2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围；

(3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证.

(1)∵，

∴，

当时，，

故，

那么当时，，符合题意，

故数列是数列；

(2)由题意知，该数列的前项和为，，

由数列是数列，可知，故公差，

对满足的任意都成立，则，解得，

故的取值范围为；

(3)①若是数列，则，

若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，

由，，故，可得；

若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，

又当时，当时不成立，

故有或，解得，

∴当是数列时，与满足的条件为或；

②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数，

若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知；

若中的每一项都在中，同理可得；

若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，

设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，，

不妨设，中最大的项在中，设为，

则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确.