Question

【题目】已知函数

（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.

（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.

（1），

①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；

②当时，令，

函数在上单调递减，在上单调递增，函数。

（i）当即,所以符合题意，

（ii）当即 时，

因为，

故存在,所以 不符题意

（iii）当 时，

因为，

设，

所以,单调递增，即，

故存在，使得，不符题意；

综上，的取值范围为。

（2）。

①当时，恒成立，所以 单调递增，所以，

即符合题意；

②当 时，恒成立，所以单调递增，

又因为，

所以存在，使得，且当时，。

即在上单调递减，所以，不符题意。

综上，的取值范围为.