Question

【题目】在圆内有一点,为圆上一动点，线段的垂直平分线与的连线交于点．

（Ⅰ）求点的轨迹方程．

（Ⅱ）若动直线与点的轨迹交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在定圆总与直线相切

【解析】

（Ⅰ）由点在线段的上，结合垂直平分线的性质可得，从而由椭圆的定义可得结果；（Ⅱ）直线斜率不存在时，原点到直线的距离为，直线斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程：，利用向量垂直数量积为零，结合韦达定理可得，由点点直线距离公式可得原点到直线的距离，进而可得结果.

（Ⅰ）圆的圆心为，半径为

点在线段的垂直平分线上

又点在线段的上

由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，

，故点的轨迹方程为

（Ⅱ）假设存在这样的圆.设， .

由已知，以为直径的圆恒过原点，即，所以.

当直线垂直于轴时， ， ，所以，又，解得，

不妨设， 或， ，即直线的方程为或，此时原点到直线的距离为.

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，解消去得方程： 因为直线与椭圆交于， 两点，所以方程的判别式

即，且， .

由，得 ，

所以整理得（满足）.

所以原点到直线的距离.

综上所述，原点到直线的距离为定值，即存在定圆总与直线相切.