题目内容
3．在△ABC中，BC=4，AC、AB边上的中线长之和等于9．（1）求△ABC重心M的轨迹方程；
（2）求顶点A的轨迹方程．
分析 （1）由已知得△ABC重心M在以B、C为两个焦点的椭圆，由此能求出△ABC重心M的轨迹方程．
（2）利用代入法，即可求顶点A的轨迹方程．
解答 
解：（1）如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系…（2分）
设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知|BM|=$\frac{2}{3}$|BD|，|CM|=$\frac{2}{3}$|CE|，于是|MB|+|MC|=$\frac{2}{3}$|BD|+$\frac{2}{3}$|CE|=6…（4分）
根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆．2a=6，2c=4，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，…（5分）
故所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）…（6分）
（2）设A（x，y），则M（$\frac{1}{3}$x，$\frac{1}{3}y$），代入$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0），
可得出顶点A的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{45}$=1（y≠0）…（12分）
点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查代入法，解题时要认真审题，注意椭圆定义的合理运用．
练习册系列答案
优质课堂快乐成长系列答案
相关题目
13．若存在两个正实数x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（ ）
| A． | $[\frac{e^2}{8}，+∞）$ | B． | $（0，\frac{e^3}{27}]$ | C． | $[\frac{e^3}{27}，+∞）$ | D． | $（0，\frac{e^2}{8}]$ |
11．方程4x-2x-1+a=0有负根，则a的取值范围是（ ）
| A． | $a≥\frac{1}{8}$ | B． | $0＜a≤\frac{1}{16}$ | C． | $-\frac{1}{8}≤a＜0$ | D． | $-\frac{1}{2}＜a≤\frac{1}{16}$ |
8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+1，x＜1}\\{f（lnx），x≥1}\end{array}\right.$，则f（e）=（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | e+1 |
15．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（ ）
| A． | f（x）是偶函数 | B． | 函数f（x）最小值为$\frac{3}{4}$ | ||
| C． | 函数f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）内是减函数 | D． | $\frac{π}{2}$是函数f（x）的一个周期 |
如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点（2，1）在椭圆C上．