Question

13．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1的两焦点，P是椭圆第一象限的点．若∠F₁PF₂=60°，则P的坐标为$（{\frac{{8\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{21}}}{7}}）$．

Answer 1

分析 由椭圆的方程，设P点坐标，利用余弦定理求得|F₁P|•|PF₂|，根据三角形的面积公式求得面积S，利用三角形面积相等，即${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂|•y₀，即可求得y₀，代入椭圆方程，即可求得P点坐标．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}$=1，
a=4，b=3，c=$\sqrt{7}$，
又∵P是椭圆第一象限的点（x₀，y₀），y₀＞0，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{7}$，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|F₁P|•|PF₂|cos60°，
=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°，
=64-3|F₁P|•|PF₂|，
∴64-3|F₁P|•|PF₂|=28，
∴|F₁P|•|PF₂|=12．
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°=3$\sqrt{3}$，
由${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂|•y₀=3$\sqrt{3}$，
解得：y₀=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
将y₀=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，代入椭圆方程，解得：x₀=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$，
∴P点坐标为：$（{\frac{{8\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{21}}}{7}}）$，
故答案为：$（{\frac{{8\sqrt{7}}}{7}，\frac{{3\sqrt{21}}}{7}}）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查余弦定理及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．