Question

已知三条直线l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₂：-4x+2y+1=0和直线l₃：x+y-1=0，且l₁与l₂的距离是．
（1）求a的值；
（2）求l₃到l₁的角θ；
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是：？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是两条平行直线间的距离、线线夹角及点到直线的距离公式，
（1）由l₁与l₂的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；
（2）由已知中l₁：2x-y+a=0（a＞0），直线l₃：x+y-1=0，我们易得到直线l₃及l₁的斜率，代入tanθ=||，即可得到l₃到l₁的角θ；
（3）设P（x，y），由点到直线距离公式，我们可得到一个关于x，y的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标．
解答：解：（1）l₂即2x-y-=0，
∴l₁与l₂的距离d==．
∴=．∴|a+|=．
∵a＞0，∴a=3．
（2）由（1），l₁即2x-y+3=0，∴k₁=2．而l₃的斜率k₃=-1，
∴tanθ===-3．
∵0≤θ＜π，∴θ=π-arctan3．
（3）设点P（x，y），若P点满足条件②，
则P点在与l₁、l₂平行的直线l′：2x-y+C=0上，
且=，即C=或C=，
∴2x-y+=0或2x-y+=0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有=，
即|2x-y+3|=|x+y-1|，
∴x-2y+4=0或3x+2=0．
由P在第一象限，∴3x+2=0不可能．
联立方程2x-y+=0和x-2y+4=0，应舍去．解得x=-3，y=，
由2x-y+=0，x-2y+4=0，
解得x=，y=．
∴P（，）即为同时满足三个条件的点．
点评：（1）线线间距离公式只适用两条平行直线，且要将直线方程均化为A、B值相等的一般方程．
（2）线线夹角只能为不大于90°的解，故tanθ=||．