Question

6．已知如图，△ABC是边长为4的等边三角形，MC⊥平面ABC，D、E分别是线段AC、AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△NDE，平面NDE⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：平面BCM∥平面EDN；
（Ⅱ）求三棱锥M-EDN的体积V．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出MC∥平面EDN，从而BC∥ED，进而BC∥平面NDE，由此能证明平面BCM∥平面EDN．
（Ⅱ） 设BC中点为G，连接AG交DE于F．则AG⊥ED，推导出GF⊥平面NDE，由此能求出三棱锥M-NDE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面EDN⊥平面ABC，MC⊥平面ABC，MC?平面EDN，
∴MC∥平面EDN．…（2分）
由已知，BC∥ED，∵BC?平面NDE，ED?平面NDE，
∴BC∥平面NDE．…（4分）
∵BC、MC是平面BCM内两相交直线，
∴平面BCM∥平面EDN．…（6分）
解：（Ⅱ） 设BC中点为G，连接AG交DE于F．则AG⊥ED．…（7分）
∵平面EDN⊥平面ABC，平面EDN∩平面ABC=ED，
AG?平面ABC，
∴GF⊥平面NDE．…（9分）
由已知，△NDE的面积S_△NDE=$\sqrt{3}$．GF=NF=$\sqrt{3}$，…（11分）
∴三棱锥M-NDE的体积V=$\frac{1}{3}$GF•S_△NDE=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=1．…（12分）

点评 本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想，是中档题．