Question

10．已知a＞0，用综合法或分析法证明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2．

Answer 1

分析 根据分析证明不等式的步骤完成即可

解答 证明：要证明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2．
只要证$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$．
∵a＞0，故只要证（$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+2）²≥（a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$）²．
即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+4$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+4≥a²+2+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$）+2，
从而只要证2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
只要证4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥2（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2），
即a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

点评 本题考查分析法证明不等式成立的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．