Question

18．已知函数f（x）=（x-1）²（x-a）（a∈R）在x=$\frac{5}{3}$处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数y=f（x）在闭区间[0，3]的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的极值得关系即可求出a的值；
（2）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间，即可判断在[0，3]上单调性，即可求出最值．

解答 解：（1）f'（x）=（x-1）（3x-2a-1）
由$f\;'（\frac{5}{3}）=0⇒5-2a-1=0⇒a=2$
（2）由（1）得f（（x）=（x-1）²（x-2）），f'（x）=（x-1）（3x-5）
由f'（x）=0得x=1或$x=\frac{5}{3}$，列出变化表如下：

x	0	（0，1）	1	（1，$\frac{5}{3}$）	$\frac{5}{3}$	（$\frac{5}{3}$，3）	3
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2		0		$-\frac{4}{27}$		4

所以，f（x）最大值为4，f（x）最小值为-2．

点评 本题考查了导数和函数的极值最值的关系，属于中档题．