题目内容

20．i是虚数单位，若复数（2+i）（a-2i）是纯虚数，则实数a的值为-1．

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0得答案．

解答 解：由（2+i）（a-2i）=（2a+2）+（a-4）i为纯虚数，
得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2=0}\\{a-4≠0}\end{array}\right.$，解得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

练习册系列答案
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10．已知f（x）=xex-ax2-x，a∈R．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对x≥1时，恒有f（x）≥xex+ax2成立，求实数a的取值范围．
11．如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P，Q分别在棱BC、CD上，满足B1Q⊥D1P，且PQ=$\sqrt{2}$．
（1）试确定P、Q两点的位置．
（2）求B1Q与平面APQ所成角的正弦值．
8．规定 $C_x^m=\frac{x（x-1）…（x-m+1）}{m!}$，其中x∈R，m是正整数，这是组合数$C_n^m$（m、n是正整数，且m≤n）的一种推广．设x＞0，则$\frac{C_x^3}{{{{（C_x^1）}^2}}}$最小值$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{2}$．
15．sin315°sin（-1260°）+cos390°sin（-1020°）=$\frac{3}{4}$．
5．定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．
如：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，
依此类推可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，
其中m≤n，m，n∈N*．设1≤x≤m，1≤y≤n，则$\frac{x+y+2}{x+1}$的最小值为$\frac{8}{7}$．
12．已知正六边形ABCDEF中，G、H、I、J、K、L分别为AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点，圆O为六边形GHIJKL的内切圆，则在正六边形ABCDEF中投掷一点，该点不落在圆O内的概率为（　　）
A．1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$B．1-$\frac{\sqrt{3}π}{8}$C．1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$D．1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
9．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax在（0，f（0））处的切线与函数y=$\frac{1}{2}{x^2}$相切．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若（k+1）（x-1）＜xf（x-1）+x2（k∈Z）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．
10．已知a＞0，用综合法或分析法证明：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2．

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