Question

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p≠±1的常数），记．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）当p＞1时，设，求数列{p^k+1b_kb_k+1}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知（1-p）S_n=p-pa_n，可得（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．两式相减可得a_n+1与pa_n的递推关系，结合等比数列的通项公式可求
（2）由题意知，p≠±1时，由（1）可求S_n，利用二项式系数的性质可求f（n），进而可求f（n+1），代人可求极限
（3）由（2）可求b_n，代入p^k+1b_kb_k+1，利用裂项求和即可求解
解答：解：（1）∵（1-p）S_n=p-pa_n，①
∴（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．②
②-①，得（1-p）a_n+1=-pa_n+1+pa_n，
即a_n+1=pa_n．（3分）
在①中令n=1，可得a₁=p．
∴{a_n}是首项为a₁=p，公比为p的等比数列，．（4分）
（2）由题意知，p≠±1时，由（1）可得．

=．
∴=，
f（n+1）=．                  （5分）
=，
所以（8分）
（3）由（2）可得，
又，
所以．         （12分）
点评：本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的通项公式，二项式系数的性质，数列的极限的求解，本题具有一定的综合性