Question

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），则a_n=（　　）

• A．(

  2p-1

  p

  )n-1
• B．p(

  2p-1

  p

  )n-1
• C．pⁿ
• D．p^n-1

Answer 1

分析：由（1-p）S_n=p-pa_n得（1-p）S_n+1=p-pa_n+1两式相减得a_n+1=pa_n，又把n=1代入（1-p）S_n=p-pa_n得（1-p）a₁=p-pa₁，解得a₁=p，故数列是以p为首项，p为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可求答案．

解答：解：∵对任意n∈N^*（1-p）S_n=p-pa_n，①
∴（1-p）S_n+1=p-pa_n+1②
②-①得，∴（1-p）a_n+1=-pa_n+1+pa_n
即a_n+1=pa_n，，把n=1代入（1-p）S_n=p-pa_n得（1-p）a₁=p-pa₁，解得a₁=p
故数列{a_n}是以p为首项，p为公比的等比数列．（p为大于1的常数）
故数列的通项公式为a_n=p×p^n-1=pⁿ，
故选C．

点评：本题为数列通项公式的求解，通过题意得出数列是以p为首项，p为公比的等比数列是解决问题的关键，属中档题．