Question

已知=(c,0)(c＞0),=(m,n)(n∈R),| |的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:①||=||(a＞c＞0);②=λ〔其中=(,t),λ≠0,t∈R〕;③动点P的轨迹C经过点B(0,-1).

(1)求c的值.

(2)求曲线C的方程.

(3)是否存在方向向量为a₀=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且||=||?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

解:(1)| |=,

当n=时,||_min==1,∴c=.                               

(2)由(1)知曲线C为焦点在x轴上的椭圆,可设其方程为+=1(a＞b＞0),则有,解之,得故曲线C的方程为+y²=1.             

(3)假设存在方向向量为a₀=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k≠0),由消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0.

∵Δ=(6km)²-4(1+3k²)(3m²-3)＞0,

∴m²＜3k²+1.                                                         ①

设x₁、x₂是方程的两个实根,也是M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)的横坐标,P(x₀,y₀)是AB中点坐标,

∴x₀==-,y₀=.

∵|BM|=|BN|,

∴BP⊥MN.

∴.

∴m=.                                                       ②

由①②得()²＜3k²+1,(3k²+1)(k²-1)＜0,∴k²-1＜0.

∵k≠0,

∴-1＜k＜0或0＜k＜1.

故存在k∈(-1,0)∪(0,1)使直线l与椭圆有两个不同的点M、N,且使|BM|=|BN|.