题目内容

已知| $数学公式$ |=4，| $数学公式$ |=5，| $数学公式$ + $数学公式$ |= $数学公式$ ，求：① $数学公式$ • $数学公式$ 　　 ②（2 $数学公式$ - $数学公式$ ）•（ $数学公式$ +3 $数学公式$ ）

解：①| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |²=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ²+2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ²=| $\text{[math]}$ |²+2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |²，…（4分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（8分）
②（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ²+5 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ ²=2| $\text{[math]}$ |²+5 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -3| $\text{[math]}$ |²…（11分）
=2×4²+5×（-10）-3×5²=-93．…（13分）
分析：①由题设条件，计算：①| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |²=| $\text{[math]}$ |²+2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |²=21将| $\text{[math]}$ |=4，| $\text{[math]}$ |=5代入求得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ；
②由数量积的运算规则将（2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ ）展开为2| $\text{[math]}$ |²+5 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -3| $\text{[math]}$ |²再将| $\text{[math]}$ |=4，| $\text{[math]}$ |=5及 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 代入求值．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，解题的关键是熟练掌握数量积的运算规则，及模的意义，考查利用向量的数量积运算求值的能力