Question

已知

π

4

＜α＜

3π

4

，0＜β＜

π

4

，cos（

π

4

+α）=-

3

5

，sin（

3π

4

+β）=

5

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：根据α、β的范围，确定

π

4

+α、

3 π

4

+β的范围，求出sin（

π

4

+α）、cos（

3 π

4

+β）的值，利用sin（α+β）=-sin[π+（α+β）]=-sin[（

π

4

+α）+（

3 π

4

+β）]，展开，然后求出它的值即可．

解答：解：∵

π

4

＜α＜

3 π

4

，∴

π

2

＜

π

4

+α＜π．
又cos（

π

4

+α）=-

3

5

，∴sin（

π

4

+α）=

4

5

．
又∵0＜β＜

π

4

，∴

3 π

4

＜

3 π

4

+β＜π．
又sin（

3 π

4

+β）=

5

13

，∴cos（

3 π

4

+β）=-

12

13

，
∴sin（α+β）=-sin[π+（α+β）]=-sin[（

π

4

+α）+（

3 π

4

+β）]
=-[sin（

π

4

+α）cos（

3 π

4

+β）+cos（

π

4

+α）sin（

3 π

4

+β）]
=-[

4

5

×（-

12

13

）-

3

5

×

5

13

]=

63

65

．
所以sin（α+β）的值为：

63

65

．

点评：本题是基础题，考查三角函数值的求法，注意角的范围的确定，sin（α+β）=-sin[π+（α+β）]=-sin[（

π

4

+α）+（

3 π

4

+β）]是集合本题的根据，角的变换技巧，三角函数的化简求值中经常应用，注意学习和总结．