Question

已知椭圆：.

(1) 椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.

①证明直线与轴交点的位置与无关；

  ②若∆面积是∆面积的5倍，求的值；

(2)若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.

Answer 1

解：（1）①因为,M (m,)，且，            

直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,

直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= ,      

由得，

                

由得，

；                              

据已知，，

直线EF的斜率    

直线EF的方程为  ,        

令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关.                    

②,,,

,，,          

 ，

整理方程得，即，

又有，， ，为所求.            

(2) 因为直线,且都过点,所以设直线,

直线,                                …

所以圆心到直线的距离为,

所以直线被圆所截的弦；

由,所以

  所以         

所以

当时等号成立,

此时直线