Question

9．直线2x+3y-6=0分别交x轴和y轴于A，B两点，P是直线y=-x上的一点，要使|PA|+|PB|最小，则点P的坐标是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （0，0）
• C． （1，-1）
• D． （$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由题意，A（3，0），B（0，2），求得点B（0，2）关于直线y=-x的对称点B′的坐标，用两点式求得AB′的方程，再由直线AB′的方程和直线y=-x的方程联立方程组，求得点P的坐标

解答 解：由题意，A（3，0），B（0，2）
设点B（0，2）关于直线y=-x的对称点B′（m，n），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-2}{m}•（-1）=-1}\\{\frac{2+n}{2}=-\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=0}\end{array}\right.$，可得B′（-2，0），
∴AB′的直线方程为：y=0
∴联立方程可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{y=-x}\end{array}\right.$，求得x=y=0
∴点P的坐标为（0，0）．
故选B．

点评 本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，求两条直线的交点坐标．