Question

11．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₈=8，a₃=4．则$\frac{{3{a_n}-{S_n}}}{n}$的最小值为-4．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₈=8，a₃=4．利用等差数列的通项公式、求和公式可得a₁，d，进而得到：a_n，S_n．代入$\frac{{3{a_n}-{S_n}}}{n}$=$\frac{30}{n}$+n-15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₈=8，a₃=4．
∴8a₁+$\frac{8×7}{2}$d=8，a₁+2d=4，
解得a₁=8，d=-2．
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n，S_n=$\frac{n（8+10-2n）}{2}$=9n-n²．
则$\frac{{3{a_n}-{S_n}}}{n}$=$\frac{3（10-2n）-（9n-{n}^{2}）}{n}$=$\frac{30}{n}$+n-15，
令f（x）=$\frac{30}{x}+x$-15，（x≥1）．
f′（x）=1-$\frac{30}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{30}）（x-\sqrt{30}）}{{x}^{2}}$，可知：当x=$\sqrt{30}$时，f（x）取得最小值，
又f（5）=6+5-15=-4，f（6）=5+6-15=-4．
∴f（n）的最小值为-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．