Question

16．已知函数f（x）=lnx-ax，（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据f'（1）=3，求出a的值，根据f（1）=2求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）问题转化为f（x₁）_max＜g（x₂）_max，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=lnx-ax得$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，
f'（1）=3⇒1-a=3⇒a=-2，
则f（x）=lnx+2x，f（1）=2点（1，2）为切点，
则2=3+b
⇒b=-1，
（Ⅱ）由f（x）=lnx-ax$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
①当$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a；
②当$\frac{1}{a}$≥2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a；
③当1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，函数f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函数，在[$\frac{1}{a}$，2]是减函数．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当$\frac{1}{2}$＜a＜ln2时，最小值是f（1）=-a，
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a；
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a，
（Ⅲ）由条件得f（x₁）_max＜g（x₂）_max，
又∵g（x₂）_max=2，
∴f（x₁）_max＜2．
若a≤0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
x→+∞，f（x）→+∞，不符题意；
∴a＞0由Ⅱ可知$f（x{）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-1-lna＜2$，
得：$a＞\frac{1}{e^3}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．