Question

20．如图，五面体ABCDE，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB=1，AE=2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF．
（1）试确定F的位置．
（2）求三棱锥A-CDF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AD、BE相交于O，则O为BE的中点，由三角形中位线定理可得OF∥CE，再由线面平行的判定可得CE∥平面ADF；
（2）由F为BC的中点，得V_A-CDF=V_A-BFD=V_F-ABD，由已知求得C到平面ABD的距离为$\frac{1}{2}$，可得F到平面ABD的距离为$\frac{1}{4}$．再求出三角形ABD的面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥A-CDF的体积．

解答 解：（1）如图，四边形ABDE是矩形，连接AD、BE相交于O，则O为BE的中点，
取BC中点F，连接OF，则OF∥CE，
∵OF?平面ADF，CE?平面ADF，∴CE∥平面ADF．
此时F为BC中点；
（2）∵F为BC的中点，∴V_A-CDF=V_A-BFD=V_F-ABD．
∵直线BC与平面ABD所成角为30°，△ABC是正三角形，AB=1，
∴C到平面ABD的距离为$\frac{1}{2}$，F到平面ABD的距离为$\frac{1}{4}$．
又四边形ABDE是矩形，且AE=2，∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×1×2=1$．
∴${V}_{F-ABD}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$．
∴三棱锥A-CDF的体积为$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．