Question

已知函数和点P(1，0)，过点P作曲线y＝f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．

(Ⅰ)设，试求函数g(t)的表达式；

(Ⅱ)是否存在t，使得M、N与A(0，1)三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m＋1个实数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g(a₁)＋g(a₂)＋…＋g(a_m)＜g(a_m+1)成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2， 　　∵，－－－2分 　　∴切线PM的方程为：， 　　又∵切线PM过点P(1，0)，∴有， 　　即，(1) 　　同理，由切线PN也过点P(1，0)，得．(2) 　　由(1)、(2)，可得x1，x2是方程的两根，(*) 　　， 　　把(*)式代入，得， 　　因此，函数g(t)的表达式为．－－－4分 　　(Ⅱ)当点M、N与A共线时，， 　　∴＝，即＝， 　　化简，得，－－－3分 　　，．(3) 　　把(*)式代入(3)，解得． 　　∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．－－－2分 　　(Ⅲ)解法1：易知g(t)在区间上为增函数， 　　∴， 　　则．－－－1分 　　依题意，不等式对一切的正整数n恒成立， 　　， 　　即对一切的正整数n恒成立．－－－2分 　　，， 　　．由于m为正整数，． 　　又当m＝6时，存在，，对所有的n满足条件． 　　因此，m的最大值为6．－－－2分 　　解法2：依题意，当区间的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值． 　　，∴长度最小的区间为[2，16]， 　　当时，与解法1相同分析，得， 　　解得．－－－－1分 　　后面解题步骤与解法1相同(略)．