Question

已知函数和点P(1，0)，过点P作曲线y＝f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．

(1)设，试求函数g(t)的表达式；

(2)是否存在t，使得M、N与A(0，1)三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(3)在(1)的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m+1个实数，使得不等式成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（1）设M、N两点的横坐标分别为，

        ∵，∴切线PM的方程为：

        又∵切线PM过点P（1，0），∴有0－

        即，     ①

        同理，由切线PN也过点P（1，0），∴     ②

        由①、②，可得是方程的两根，

        ∴    ③

        ，

把③式代入，得

由此，函数g(t)的表达式为.

(2)当点M、N与A共线时，

即，化简，得

∵     ④

把③式代入④，解得t=.

∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=.

(3)解法1：易知g(t)在区间上为增函数，

 ∴

则.

依题意，不等式对一切的正整数n恒成立.

∵

∴.

由于m为正整数，∴

又当时，存在，对所有的n满足条件.

因此，m的最大值为6.

解法2：依题意，当区间的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值.

∵，∴长度最小的区间为[2,16],

当时，与解法1相同分析，得

解得   

后面解题步骤与解法1相同（略）